2020长沙中考指标生计划公布 (2020长沙中考数学试卷)

指标生计划

学校	指标生名额
湖南师范大学附属中学	100
长沙市第一中学	80
长沙市长郡中学	70
长沙市雅礼中学	60
长沙市周南中学	50
长沙市一中师范中学	40
长沙市南雅中学	30
长沙市明德中学	20
长沙市实验中学	10
长沙市芙蓉中学	5

数学试卷

选择题（每题 2 分，共 30 分）

1. 下列方程组中，无解的是（ ）A. \begin{cases} x + 2y = 5, \\ 2x + y = 4. \end{cases}B. \begin{cases} 2x - y = 1, \\ x + y = 3. \end{cases}C. \begin{cases} 3x + y = 5, \\ x - y = 1. \end{cases}D. \begin{cases} 4x + 2y = 6,\\ 2x + y = 3. \end{cases}2. 下列不等式组中的解集在平面直角坐标系中表示为（ ）A. \begin{cases} x + y < 2, \\ x > 0, \\ y > 0. \end{cases}B. \begin{cases} x + y > 2, \\ x < 0, \\ y < 0. \end{cases}C. \begin{cases} x + y > 2, \\ x > 0, \\ y > 0. \end{cases}D. \begin{cases} x + y < 2, \\ x < 0, \\ y < 0. \end{cases}3. 已知函数 f(x) = ax + b，若 f(2) = 5，f(5) = 14，则 a = （ ）A. 1B. 2C. 3D. 44. 下列四边形中，既是矩形又是菱形的是（ ）A. 等腰梯形B. 菱形C. 平行四边形D. 矩形5. 若正方体棱长为 2，则其体积为（ ）A. 2B. 4C. 8D. 166. 若圆柱的底面半径为 3，高为 4，则其表面积为（ ）A. 60πB. 72πC. 84πD. 96π7. 若抛物线 y = ax² + bx + c 经过点（-1，2）和（1，0），则 a =（ ）A. 1B. -1C. 2D. -28. 若正四面体的棱长为 2，则其体积为（ ）A. 2√2B. 4√2C. 8√2D. 16√29. 若函数f(x) 在区间 [0, 2] 上单调递增，则 f(x) 的最小值为（ ）A. f(0)B. f(2)C. f(1)D. 010. 若函数 f(x) = x² - 4x + 3，其图象与 x 轴的交点为 A（a，0），B（b，0），则 a + b =（ ）A. 2B. 4C. 6D. 811. 已知集合 A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}，B = {2, 4, 6, 8}，则集合 A - B 中的元素个数为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 512. 若点 P（2，-1）关于直线 x = 1 对称的点为 P'，则点 P' 的坐标为（ ）A. （0，-1）B. （4，-1）C. （-2，-1）D. （1，-3）13. 已知集合 A = {x | x 是奇数且 x ≤ 9}，则集合 A 的元素个数为（ ）A. 3B. 4C. 5D. 614. 若直线 l 过点 A（2，3）且与 x 轴平行，则直线 l 的方程为（ ）A. y = 3B. y = 2C. x = 2D. x = 315. 若已知正整数 a =2 ^p × 3 ^q × 5 ^r ，其中 p，q，r 均为正整数，则 a 的因数个数为（ ）A. 15B. 18C. 21D. 24

填空题（每题 3 分，共 15 分）

16. 若二元一次方程组 \begin{cases} 2x + y = 5, \\ x - y = 1. \end{cases} 有解，则 x = ____，y = ____。17. 已知正比例函数 y = kx，若当 x = 3 时，y = 6，则 k = ____。18. 若函数 f(x) = ax + b（a ≠ 0）的图象与 x 轴交于点 A（3，0），则 a = ____，b = ____。19. 已知抛物线 y = x² - 2x + 1 的顶点坐标为（____，____）。20. 若圆心在直线 x = 1 上，半径为 3 的圆与直线 y = 2x + 1 相切，则圆心的坐标为（____，____）。

解答题（共 55 分）

21. 解方程：2x² - 7x + 5 = 0。（10 分）22. 解不等式：|x - 2| ≤ 3。（10 分）23. 已知直线 l1：y = 2x - 5，直线 l2：y = 3x + 1，求：（1）直线 l1 和 l2 的交点坐标；（5 分）（2）过点 A（2，0）且与直线 l1 平行的直线 l3 的方程。（10 分）24. 已知函数 f(x) = (m - 1)x² - 2x + 1。（1）求函数 f(x) 的顶点坐标。（5 分）（2）若函数 f(x) 的图象与 x 轴交于点 A（1，0），求 m 的值。（5 分）（3）若函数 f(x) 的最小值为 2，求实数 m 的取值范围。（10 分）25. 已知正四面体的棱长为 a，求：（1）该正四面体的表面积；（5 分） （2）该正四面体的体积。（10 分）